Question

已知定義在R上的函數f（x），對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若函數y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱，則f（2014）的值為（　�。�

• A、2014
• B、-2014
• C、0
• D、4

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：由函數f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱且由y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象可知函數y=f（x）的圖象關于x=0對稱即函數y=f（x）為偶函數，在已知條件中令x=-2可求f（2）及函數的周期，利用所求周期即可求解

解答： 解：∵函數f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱且把y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象
∴函數y=f（x）的圖象關于x=0對稱，即函數y=f（x）為偶函數
∵f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2可得f（2）=f（-2）+f（2），∴f（-2）=f（2）=0，
從而可得f（x+4）=f（x），
即函數是以4為周期的周期函數
∴f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0
故選：C．

點評：本題主要考出了函數的圖象的平移及函數圖象的對稱性的應用，利用賦值求解抽象函數的函數值，函數周期的求解是解答本題的關鍵所在．