Question

如圖，兩海上航線相交于島A，若已知AB=100海里，甲漁船從A島撤離，沿AC方向以50海里/小時(shí)的速度行駛，同時(shí)乙巡航船從B碼頭出發(fā)，沿BA方向以v海里/小時(shí)的速度行駛，至A島即停止前行（甲船仍繼續(xù)行駛）（兩船的船長(zhǎng)忽略不計(jì)），
（1）求甲、乙兩船的最近距離（用含v的式子表示）；
（2）若甲、乙兩船開(kāi)始行駛到甲、乙兩船相距最近時(shí)所用時(shí)間為t₀小時(shí)，問(wèn)v為何值時(shí)t₀最大？

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理，結(jié)合甲、乙兩船的行駛路程，可得二次函數(shù)，從而可得函數(shù)的最值，即甲、乙兩船的最近距離；
（2）利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)甲、乙兩船的距離為d，則
d²=（100-vt）²+（50t）²=（v²+2500）t²-200vt+10000（0≤t≤

100

v

）
∵0＜

100v

v2+2500

＜

100

v

，
∴當(dāng)t=

100v

v2+2500

時(shí)，dmin=

5000

v2+2500

，
即甲、乙兩船的最近距離是

5000

v2+2500

海里；
（2）甲、乙兩船相距最近時(shí)，t=

100v

v2+2500

=

100

v+ 2500 v

≤1，此時(shí)v=50海里/小時(shí)
即當(dāng)船速v=50海里/小時(shí)，甲、乙兩船相距最近，所用時(shí)間t₀最大，最大值為1小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．