Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)C，對(duì)任意x₁∈D存在唯一的x₂∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=C，則稱(chēng)常數(shù)C是函數(shù)f（x）在D上的“頂級(jí)數(shù)”．若函數(shù)f（x）=log₂x，（x∈[1，2]），則f（x）在[1，2]上的頂級(jí)數(shù)是

1

．

Answer 1

分析：由題意可得 log₂（x₁•x₂）=C，即 x₁•x₂=2^C．當(dāng) x₁=1時(shí)，由x₂=2^C≤2，可得C≤1．當(dāng)x₁=2時(shí)，由x₂=2^C-1≥1，可得C≥1，綜上可得C的值．

解答：解：對(duì)于函數(shù)y=log₂x，定義域?yàn)閇1，2]，值域?yàn)閇0，1]，且單調(diào)遞增，
若對(duì)任意x₁∈[1，2]，存在唯一的x₂∈[1，2]，使 f（x₁）+f（x₂）=C成立，
則有 log₂（x₁•x₂）=C，即 x₁•x₂=2^C．
當(dāng) x₁=1時(shí)，x₂=

2C

x1

=2^C≤2，∴C≤1．
當(dāng)x₁=2時(shí)，由x₂=

2C

x1

=2^C-1≥1，可得C≥1． 
綜上，C=1，即f（x）在[1，2]上的頂級(jí)數(shù)是1，
故答案為 1．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，充分理解各基本初等函數(shù)的定義域和值域，是解決本題的關(guān)鍵，
屬于基礎(chǔ)題．