Question

（2009•紅橋區(qū)二模）已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，且滿足

AP

=

PM

，過(guò)點(diǎn)P且與AM垂直的直線交CM于N
（Ⅰ）求點(diǎn)N的軌跡E的方程：
（Ⅱ）設(shè)⊙O是以AC為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)G、H，當(dāng)

OG

•

OH

=λ，且滿足

2

3

≤λ≤

3

4

時(shí)，求△GOH面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）如圖所示．由于滿足

AP

=

PM

，過(guò)點(diǎn)P且與AM垂直的直線交CM于N，可知：PN垂直平分AM，連接AN．可得|NC|+|NA|=|CM|=2

2

＞|AC|=2，由橢圓的定義可知：點(diǎn)N的軌跡E是橢圓，
（II）利用直線與⊙O相切的性質(zhì)可得k與m的關(guān)系，把直線GH與橢圓方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式和三角形的面積公式和已知λ的取值范圍即可得到k的取值范圍，進(jìn)而得到三角形的面積的取值范圍．

解答：解：（I）如圖所示．由于滿足

AP

=

PM

，過(guò)點(diǎn)P且與AM垂直的直線交CM于N，
∴PN垂直平分AM，連接AN．
則|AN|=|NM|，
∴|NC|+|NA|=|CM|=2

2

＞|AC|=2，
由橢圓的定義可知：點(diǎn)N的軌跡E是以點(diǎn)C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)，2

2

為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
∴b²=a²-c²=1．
其方程為

x2

2

+y2=1；
（II）如圖所示．以AC為直徑的圓的方程為：x²+y²=1．
設(shè)直線GH與⊙O相切于點(diǎn)T，則|OT|=1，∴

|m|

1+k2

=1，化為m²=k²+1
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．聯(lián)立

y=kx+m x2 2 +y2=1

，化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
則△=16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，即k²＞0．
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

．
∴|GH|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2 1+k2

1+2k2

•

1+2k2-m2

=

2 2k2(1+k2)

1+2k2

．
∴S=S_△OGH=

1

2

|GH|•|OT|=

2k2(1+k2)

1+2k2

=

2k2+2k4 1+4k2+4k4

．
又λ=

OG

•

OH

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=

(1+k2)(2m2-2)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m²=

3m2-2k2-2

1+2k2

=

1+k2

1+2k2

，
∵

2

3

≤λ≤

3

4

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

．
解得

1

2

≤k2≤1．
令k²=t＞0，則S=

2t+2t2 1+4t+4t2

=

1 2 - 1 2(1+2t)2

．
由

1

2

≤t≤1，得2≤1+2t≤3，∴

1

18

≤

1

2(1+2t)2

≤

1

8

，∴

3

8

≤

1

2

-

1

2(1+2t)2

≤

4

9

．
∴

6

4

≤S≤

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查了計(jì)算能力、推理能力和解決復(fù)雜問題的能力．