已知數(shù)列{a
n}的各項均為正數(shù),S
n為其前n項和,對于任意的n∈N
*,滿足關(guān)系式2S
n=3a
n-3.
(I)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{b
n}的通項公式是
bn=,前n項和為T
n,求證:對于任意的正整數(shù)n,總有T
n<1.
分析:(I)由已知得
| 2Sn=3an-3 | 2Sn-1=3an-1-3,n≥2 |
| |
,故2(S
n-S
n-1)=2a
n=3a
n-3a
n-1.由此可求出a
n=3
n(n∈N
*).
(Ⅱ)
bn==-,所以T
n=b
1+b
2+…+b
n=1-
<1.
解答:解:(I)由已知得
| 2Sn=3an-3 | 2Sn-1=3an-1-3,n≥2 |
| |
故2(S
n-S
n-1)=2a
n=3a
n-3a
n-1即a
n=3a
n-1,n≥2
故數(shù)列a
n為等比數(shù)列,且q=3
又當(dāng)n=1時,2a
1=3a
1-3,∴a
1=3,
∴a
n=3
n,n≥2.
而a
1=3亦適合上式
∴a
n=3
n(n∈N
*).
(Ⅱ)
bn==-所以T
n=b
1+b
2+…+b
n=
(1-)+(-) +…+(-)=1-
<1.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)計算.
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- A.
8
- B.
16
- C.
32
- D.
36
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