Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1有公共焦點(diǎn)，且以拋物線y²=2x的準(zhǔn)線為雙曲線C的一條準(zhǔn)線．動(dòng)直線l過雙曲線C的右焦點(diǎn)F且與雙曲線的右支交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）無論直線l繞點(diǎn)F怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在雙曲線C上是否總存在定點(diǎn)M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）又橢圓

x2

8

+

y2

4

=1得焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出雙曲線中c的值，再由拋物線y²=2x的準(zhǔn)線為雙曲線C的一條準(zhǔn)線，得出雙曲線中a的值，則b可求，雙曲線C的方程可得．
（2）先假設(shè)存在定點(diǎn)M，使MP⊥MQ恒成立，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)MP⊥MQ，

MP

•

MQ

=0求P點(diǎn)坐標(biāo)，如能求出，則P存在，求不出，則P不存在．

解答：解：（1）設(shè)F（c，0）（c＞0），則由題意有：

c2=8-4 a2 c = 1 2

∴c²=4，a²=1，b²=3
故雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1，
（2：由（1）得點(diǎn)F為（2，0）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
將方程y=k（x-2）與雙曲線方程聯(lián)立消去y得：（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3
假設(shè)雙曲線C上存在定點(diǎn)M，使MP⊥MQ恒成立，設(shè)為M（m，n）
則：

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+(y1-n)(y2-n)=（x₁-m）（x₂-m）+[k（x₁-2）-n][k（x₂-2）-n]
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+kn+m）（x₁+x₂）+m²+4k²+4kn+n²=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4(2k2+kn+m)k2

k2-3

+m2+4k2+4kn+n2=

(m2+n2-4m-5)k2-12nk-3(m2+n2-1)

k2-3

∵M(jìn)P⊥MQ，∴

MP

•

MQ

=0，
故得：（m²+n²-4m-5）k²-12nk-3（m²+n²-1）=0對任意的k²＞3恒成立，
∴

m2+n2-4m-5=0 12n=0 m2+n2-1=0

，解得

m=-1 n=0

∴當(dāng)點(diǎn)M為（-1，0）時(shí)，MP⊥MQ恒成立；
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由P（2，3），Q（2，-3）知點(diǎn)M（-1，0）使得MP⊥MQ也成立．
又因?yàn)辄c(diǎn)（-1，0）是雙曲線C的左頂點(diǎn)，
所以雙曲線C上存在定點(diǎn)M（-1，0），使MP⊥MQ恒成立．

點(diǎn)評：本題考查三種圓錐曲線的關(guān)系，以及存在性問題，綜合性強(qiáng)，須認(rèn)真審題．