Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+3在x=2時取得最小值，且函數(shù)f（x）的圖象在x軸上截得的線段長為2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-mx的一個零點在區(qū)間（0，2）上，另一個零點在區(qū)間（2，3）上，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）當x∈[t，t+1]時，函數(shù)f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+3在x=2時取得最小值，且函數(shù)f（x）的圖象在x軸上截得的線段長為2．求出a，b值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-mx的一個零點在區(qū)間（0，2）上，另一個零點在區(qū)間（2，3）上，則$\left\{\begin{array}{l}g（0）＞0\\ g（2）＜0\\ g（3）＞0\end{array}\right.$，解得實數(shù)m的取值范圍．
（3）由（1）知，f（x）=x²-4x+3的對稱軸是x=2，分析給定區(qū)間與對稱的位置關(guān)系，結(jié)合當x∈[t，t+1]時，函數(shù)f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，分類討論，可得實數(shù)t的值．

解答 解：因為二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+3在x=2時取得最小值，
所以$-\frac{2a}$=2，即b=-4a，
所以f（x）=ax²-4ax+3，…（1分）
設(shè)函數(shù)f（x）的圖象在x軸上的兩個交點分別為（x₁，0），（x₂，0），
所以|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{16{a}^{2}-12a}}{a}$-2，…（2分）
所以a=1．
所以f（x）=x²-4x+3                              …（4分）
注：設(shè)為二次函數(shù)的零點式，對照給分
（2）g（x）=f（x）-mx=x²-（m+4）x+3              …（5分）
因為函數(shù)g（x）的一個零點在區(qū)間（0，2）上，另一個零點在區(qū)間（2，3）上．
所以$\left\{\begin{array}{l}g（0）＞0\\ g（2）＜0\\ g（3）＞0\end{array}\right.$                                    …（8分）
所以-$\frac{1}{2}$＜a＜0．…（10分）
（3）由（1）知，f（x）=x²-4x+3的對稱軸是x=2，
①當t+1≤2時，即t≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以當x=t+1時，函數(shù)取最小值t²-2t=$-\frac{1}{2}$，
解得：t=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）
②當t＜2＜t+1時，即1＜t＜2時，
當x=2時，函數(shù)取最小值-1≠$-\frac{1}{2}$，…（13分）
③當t≥2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上是單調(diào)增函數(shù)，
所以當x=t時，函數(shù)取最小值t²-4t+3=$-\frac{1}{2}$，
解得：t=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（15分）
綜合上所述，t=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或t=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（16分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．