已知數(shù)列{an}滿足，且a1=3．
（1）計(jì)算a2，a3，a4的值，由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并給出證明；
（2）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，．
【答案】分析：（1）由，且a1=3，分別令 n=1，2，3即可求解，進(jìn)而可猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可
（2）由（1）可得an=n+2，從而有=（n+2）n，利用二項(xiàng)式定理展開后即可證明
解答：解：（1）∵，且a1=3．
∴a2=4，a3=5，a4=6
猜想an=n+2
證明：①當(dāng)n=1時(shí)顯然成立
②假設(shè)n=k時(shí)（k≥1）時(shí)成立，即ak=k+2
則n=k+1時(shí)，ak+1==
=即n=k+1時(shí)命題成立
綜上可得，an=n+2
證明：（2）∵an=n+2，n≥2
∴=（n+2）n=
≥
=5nn-2nn-1=4nn+nn-1（n-2）≥4nn，即證
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在求解數(shù)列的通項(xiàng)綜的應(yīng)用及歸納法的應(yīng)用，解答（2）的關(guān)鍵是二項(xiàng)展開式的應(yīng)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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