已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過點M(1,2),它們在x軸上有共同焦點,雙曲線的對稱軸是坐標軸,拋物線的頂點為坐標原點.
(1)求這兩條曲線的方程;
(2)直線l過x軸上定點N(異于原點),與拋物線交于A、B兩點且以AB為直徑的圓過原點,試求出定點N的坐標.
分析:(1)設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),將M(1,2)代入,可求拋物線方程.利用雙曲線的定義可求雙曲線方程;
(2)設(shè)l方程為x=ty+m與拋物線方程聯(lián)立得y2-4ty-4m=0,利用以AB為直徑的圓過原點,即x1x2+y1y2=0,從而求出定點坐標.
解答:解:(1)設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),將M(1,2)代入得P=2.∴拋物線方程為y2=4x,焦點為F(1,0)由題意知雙曲線的焦點為F1(-1,0)F2(1,0)∴c=1
對于雙曲線,2a=||MF1|-|MF2||=2
2
-2
a=
2
-1
(a)2=3-2
2
(b)2=2
2
-2

∴雙曲線方程為
x2
3-2
2
-
y2
2
2
-2
=1

(2)設(shè)l方程為x=ty+m聯(lián)立
x=ty+m
y2=4x
得y2-4ty-4m=0
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)則
y1+y2=4t
y1y2=-4m

x1x2=
y12
4
y22
4
=m2

∵以AB為直徑的圓過原點,∴x1x2+y1y2=0,∴m2-4m=0,∴m=4,∴N的坐標為(4,0)
點評:本題主要考查利用待定系數(shù)法求拋物線、雙曲線方程,同時考查恒過定點問題,注意挖掘題目隱含,將問題等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
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(2009•濟寧一模)已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過點M(1,2),它們在x軸上有共同焦點,拋物線的頂點為坐標原點,則雙曲線的標準方程是
x2
3-2
2
-
y2
2
2
-2
=1
x2
3-2
2
-
y2
2
2
-2
=1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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科目:高中數(shù)學 來源:2009年山東省濟寧市高考數(shù)學一模試卷(理科)(解析版) 題型:填空題

已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過點M(1,2),它們在x軸上有共同焦點,拋物線的頂點為坐標原點,則雙曲線的標準方程是   

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