Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，函數(shù)．
（Ⅰ）若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N^*），試求出a₂，a₃，a₄．由此歸納出通項(xiàng)a_n，并證明；
（Ⅱ）若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足，其和為T(mén)_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由遞推公式，求出前四項(xiàng)，從而由歸納推理，猜想通項(xiàng)公式，再將遞推式變形、證明；
（Ⅱ）由不等關(guān)系a_n+1≤f（a_n）和（I）的思路啟發(fā)，探求a_n的最值，從而過(guò)渡得到b_n范圍，再用求和公式證明不等式．
解答：解：（Ⅰ），，
歸納出．…（2分）
證明：∵，
∴，
∴，
∴是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列
.，
∴，故通項(xiàng)a_n是正確的．…（6分）
（Ⅱ）由得，
∴，
故，
累乘得，
∴，
即，故．…（10分）

故…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查以函數(shù)作載體考查數(shù)列的綜合交匯，也考查了推理與證明．?dāng)?shù)列綜合題常作壓軸題，根據(jù)遞推關(guān)系推性質(zhì)、求和及證不等式等，根據(jù)前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng)公式，是打開(kāi)“思路閘門(mén)”的好方法，切記合理證明；在非等差、等比的數(shù)列中，常通過(guò)變形構(gòu)造出新的等差、等比數(shù)列求解，此時(shí)注意新數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)及公差（比）；數(shù)列前項(xiàng)和與不等式的融合，常根據(jù)求和公式得到具體表達(dá)式，再適當(dāng)放縮即可，有時(shí)需要對(duì)源頭--通項(xiàng)進(jìn)行放縮，以便求和及證明．