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已知數列{an}滿足條件：a1=1，an+1=2an+1，n∈N﹡．
（Ⅰ）求證：數列{an+1}為等比數列；
（Ⅱ）令cn=數學公式，Tn是數列{cn}的前n項和，證明Tn＜1．

（Ⅰ）證明：由題意得an+1+1=2an+2=2（an+1），
又a1+1=2≠0．
所以數列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數列．
（Ⅱ）解：由（1）知an=2n-1，
故，∴
=．
故Tn＜1．
分析：（1）由數列的遞推公式求數列的通項公式，根據等比數列的定義，只要證明是一個非零的常數即可；
（2）根據（1）中證明的結論，求出數列{an}的通項公式，從而求得數列{cn}的通項公式，再求出其前n項和．
點評：由數列的遞推公式，通過構造新的等比數列求數列的通項公式，是�？贾R點，特別注意新數列的首項，裂項求和是�？紨盗星蠛偷姆椒�，并通過放縮法證明不等式．此題非常好，很典型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數列bn-1是等比數列；
（2）求數列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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