在三棱錐P－ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=，D為PA中點(diǎn)，二面角P－AC－B為，PC=2，AB=．

(1)求證AC⊥BD；

(2)求BD與底面ABC所成的角(用反正弦表示)；

(3)求三棱錐P－ABC的體積．

答案：
解析：

解 (1)如圖，取AC中點(diǎn)E，連結(jié)BE，DE，則DE∥PC．由PC⊥AC，知DE⊥AC．由△ABC為正三角形，得BE⊥AC．又DE∩BE=E，所以AC⊥平面DEB，．于是AC⊥DB．

(2)由AC⊥平面DEB，，知平面DEB⊥底面ABC，∠DBE是DB與底面ABC所成角．

由DE⊥AC，BE⊥AC，知∠DEB是二面角P－AC－B的平面角．在△DEB中，DE=1，，∠DEB=．故得－2×1×3×cos=13，BD=．

由正弦定理，得，

∴sin∠DBE=．

∴所求角為arc sin．

另一解法是由AC⊥平面DEB，，知平面DEB⊥平面ABC．

作DF⊥平面ABC，F(xiàn)是垂足，F(xiàn)在BE的延長(zhǎng)線上，∠DBF是DB與平面ABC所成的角．

由DE⊥AC，BE⊥AC，知∠DEB是二面角P－AC－B的平面角．

在 Rt△DBF中，DE=PC=1，BE=AB=3，∠DEB=，∠DEF=，DF=．

由余弦定理，知BD=，sin∠DEF==，故可得DB與底面ABC所成角為arc sin．

(3)∵AC⊥平面DEB，，

∴平面DEB⊥平面PAC．

作B到平面PAC的垂線BG，G為垂足，G在DE的延長(zhǎng)線上．

在Rt△BEG中，∠BEG=，BE=3，故BG=．

．

或由DF=，知P到平面ABC的距離為2DF=．

∴．


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（1）求證：平面PAB⊥平面PBC；

（2）若PA＝2，求三棱錐P－ABC的體積．

 

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