Question

4．在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，若點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=（1-λ）$\overrightarrow{AD}$，0≤λ≤1，則$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值為$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意建立直角坐標(biāo)系，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，可得A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，1），D（0，-1）．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可得$\overrightarrow{DE}、\overrightarrow{BF}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值．

解答 解：如圖所示，
∵邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，1），D（0，-1）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}$，-1）．
$\overrightarrow{DE}$=$（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}）$=λ$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}λ-\sqrt{3}$，λ+1），（0≤λ≤1）．
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$λ，λ-2）．
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$=-$\sqrt{3}$λ（$\sqrt{3}$λ-$\sqrt{3}$）+（λ+1）（λ-2）=-2λ²+2λ-2
=-2$（λ-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}$，∵0≤λ≤1，
∴當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值為-$\frac{3}{2}$．
故答案為：$-\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．