Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是面積為2的菱形，∠ABC=60°，E、F分別為CC₁、BB₁上的點(diǎn)，且BC=EC=2FB．
（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求平面AEF與平面ABCD所成角．

Answer 1

【答案】分析：（I）由菱形的對角線互相垂直及直四棱柱的幾何特征，結(jié)合線面垂直的判定定理易證BD⊥平面ACC₁A，設(shè)AC∩BD=O，AE的中點(diǎn)為M，連OM，可證得FM∥BD，結(jié)合線面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）由二面角的平面角的定義，可得∠EAC為所求二面角的平面角θ．解等腰直角三角形ACE，即得到平面AEF與平面ABCD所成角．
解答：證明：（Ⅰ） BD⊥平面ACC₁A     ①?
設(shè)AC∩BD=O，AE的中點(diǎn)為M，連OM，則OM=EC=FB?
∴FB∥CE∥OM?
∴BOMF為平行四邊形?
∴FM∥BO即FM∥BD?
由①，知面AEF⊥面ACC₁A₁
（Ⅱ）∵AC⊥BD，平面AEF∩平面ABCD=l，l過A且l∥BD
∴AC⊥l，又BD⊥平面ACC₁A₁
∴l(xiāng)⊥平面ACC₁A₁，
∴l(xiāng)⊥AE
∴∠EAC為所求二面角的平面角θ．
∵∠ABC=60°，
∴AC=BC=CE
由CC₁⊥AC
故△ECA為Rt△，即△ECA為等腰直角三角形
故∠EAC=θ=45°
點(diǎn)評：本題考是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，是線線垂直、線面垂直、面面垂直及二面角問題的綜合應(yīng)用，有一定的難度．