Question

已知函數f（x）=（a-1）lnx+ax²．
（1）討論函數y=f（x）的單調性；
（2）求證：+++…+＞（n≥2，n∈N₊）；
（3）當a=0時，求證：f（x）≤-．

Answer 1

解：（1）f（x）=（a-1）lnx+ax²，定義域為（0，+∞）．
∵．
當a≥1時，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調遞增；
當a≤0時，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調遞減；
當0＜a＜1時，令f'（x）=0，解得．
則當時，f'（x）＜0；時，f'（x）＞0．
故f（x）在單調遞減，在單調遞增．
（2）當時，，
由（1）知，時，y=f（x）遞增，
所以x＞1時，
∵x＞1，
∴x²＞lnx＞0，
∴，，

（3）就是要證，即需證．
令g（x）=xlnx，則由g'（x）=lnx+1=0，得，
當時g（x）遞增，當時g（x）遞減，
所以g（x）的最小值為．
設，
當=0時，x=1．
當x＞1時g（x）遞減；當0＜x＜1時g（x）遞增．
所以?（x）的最大值為，
因為g（x）的最小值不小于?（x）的最大值，
即，所以．
分析：（1）先求導得f^′（x），通過對a分類討論即可得出；
（2）利用（1）的結論，取a=時，當x＞1時，f（x）單調遞增，f（x）＞f（1），從而得出x²＞lnx＞0，取倒數得，令x=k，再利用放縮和裂項求和即可得出；
（3）要證??（xlnx）_min≥，利用導數分別求出其極值即最值即可證明．
點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值和最值、分類討論的思想方法和等價轉化的思想方法是解題的關鍵．