已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e8/1/3hoy5.png" style="vertical-align:middle;" />,對(duì)定義域內(nèi)的任意x,滿足,當(dāng)時(shí),(a為常),且是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)如果當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;
(3)求證:
(1);(2)2;(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)利用為奇函數(shù),所以設(shè),利用,求出時(shí)的,然后再求時(shí)的,再根據(jù),求出,驗(yàn)證所求能夠使是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn);(2)不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立,設(shè),即求的最小值,求,再設(shè),易求,當(dāng)時(shí),為增函數(shù),最小, ,即逐步分析為單調(diào)遞增函數(shù),從而求得最小值.(3)通過代入(2)式恒成立不等式,變形放縮后得到,為出現(xiàn)(2)要證形式,所以令,則,然后將k=1,2, n,代入上式,累加,從而得出要證不等式.此題綜合性較強(qiáng).
試題解析:(1)由題知對(duì)定義域內(nèi)任意,,為奇函數(shù),
當(dāng)時(shí),,,
當(dāng)時(shí),
由題知:,解得,經(jīng)驗(yàn)證,滿足題意.
(2)由(1)知
當(dāng)時(shí),,令
則時(shí),恒成立,轉(zhuǎn)化為在恒成立.
令,,則,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增.
則若在恒成立,則
的最大值2.
(3)由(2)知當(dāng)時(shí),有,即
則
令,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
為了保護(hù)環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),某單位在國(guó)家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目,經(jīng)測(cè)算,該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為
y=
且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元,若該項(xiàng)目不獲利,國(guó)家將給予補(bǔ)償.
(1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí),判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤(rùn);如果不獲利,則國(guó)家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損?
(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=若f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立.
(1)求F(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示),該扇環(huán)面是由以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn)的兩條直線段圍成.按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長(zhǎng)為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米,圓心角為(弧度).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí),直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米.設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出為何值時(shí),取得最大值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某投資公司計(jì)劃投資A,B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1=18-,B產(chǎn)品的利潤(rùn)y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2=(注:利潤(rùn)與投資金額單位:萬元).
(1)該公司已有100萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品中,其中x萬元資金投入A產(chǎn)品,試把A,B兩種產(chǎn)品利潤(rùn)總和表示為x的函數(shù),并寫出定義域;
(2)在(1)的條件下,試問:怎樣分配這100萬元資金,才能使公司獲得最大利潤(rùn)?其最大利潤(rùn)為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)
(1)若關(guān)于x的不等式在有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè),若關(guān)于x的方程至少有一個(gè)解,求p的最小值.
(3)證明不等式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
我國(guó)加入WTO后,根據(jù)達(dá)成的協(xié)議,若干年內(nèi)某產(chǎn)品關(guān)稅與市場(chǎng)供應(yīng)量的關(guān)系允許近似的滿足:(其中為關(guān)稅的稅率,且,為市場(chǎng)價(jià)格,、為正常數(shù)),當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖:
(1)根據(jù)圖象求、的值;
(2)若市場(chǎng)需求量為,它近似滿足.當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格.為使市場(chǎng)平衡價(jià)格控制在不低于9元,求稅率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求m的值:
(2)設(shè).若函數(shù)與的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn).求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè),兩個(gè)函數(shù),的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)求實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式;
(2)當(dāng)取何值時(shí),函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn);
(3)當(dāng)時(shí),在上解不等式.
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