Question

如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：AC⊥BM；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；
（Ⅲ）求多面體PMABC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證AC⊥BM，只要證明AC⊥平面PCBM中的兩條相交直線即可．
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小，用三垂線定理，作出二面角的平面角，求解即可；
也可以利用空間直角坐標(biāo)系來解．
（Ⅲ）求多面體PMABC的體積，找出底面，求出底面面積，求出高，即可解答．
解答：解：（Ⅰ）∵平面PCBM⊥平面ABC，AC⊥BC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面PCBM．
又∵BM?平面PCBM，
∴AC⊥BM．

（Ⅱ）取BC的中點(diǎn)N，則CN=1．連接AN、MN．
∵平面PCBM⊥平面ABC，平面PCBM∩平面ABC=BC，PC⊥BC．
∴PC⊥平面ABC．
∵PM∥CN，∴MN∥PC，從而MN⊥平面ABC．
作NH⊥AB于H，連接MH，則由三垂線定理知AB⊥MH．
從而∠MHN為二面角M-AB-C的平面角．
∵直線AM與直線PC所成的角為60°，
∴∠AMN=60°．
在△ACN中，由勾股定理得．
在Rt△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=．
在Rt△BNH中，NH=BN•sin∠ABC=BN•．
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M-AB-C的大小為．

（Ⅱ）如圖以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
設(shè)P（0，0，z）（z＞0），有B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z）．，
由直線AM與直線PC所成的角為60°，得
即，解得．
∴，
設(shè)平面MAB的一個(gè)法向量為，則
由，取，得
取平面ABC的一個(gè)法向量為
則=
由圖知二面角M-AB-C為銳二面角，
故二面角M-AB-C的大小為．

（Ⅲ）多面體PMABC就是四棱錐A-BCPM．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、棱錐體積等有關(guān)知識(shí)，
考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力．