Question

【題目】已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．

（1）求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于，與交于，求證：．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可設(shè)．結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為．半徑，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)的斜率為，則其方程為，由弦長(zhǎng)公式可得．聯(lián)立直線與拋物線的方程有．設(shè)，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得 ．則．即 ．

詳解：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則．

已知在直線上，故可設(shè)．

因?yàn)?/span>關(guān)于對(duì)稱，所以

解得

所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

因?yàn)?/span>與軸相切，故半徑，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)的斜率為，那么其方程為，

則到的距離，所以．

由消去并整理得：．

設(shè)，則，

那么 ．

所以．

所以，即 ．