Question

如圖，α-l-β為60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂點P在l上，M∈α，N∈β，且MP和NP與l所成的角相等，則MN與β所成角為    ．

Answer 1

【答案】分析：作NA⊥α于A，MB⊥β于B，連接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，連接NC、MD，根據已知中α-l-β為60°的二面角，三角形PMN為等腰直角三角形，設∠MNB=θ，MN=a，我們易得到△BPD∽△PNC，然后根據相似三角形對應線段成比例，可以構造關于θ方程，解方程即可同MN與β所成角．
解答：解：作NA⊥α于A，MB⊥β于B，連接AP、PB、BN、AM，
再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，連接NC、MD．
設∠MNB=θ，MN=a，則PB=PN=a，MB=NA=asinθ，NB=acosθ?，
∵MB⊥β，BD⊥l，
∴MD⊥l，∴∠MDB是二面角α-l-β的平面角，
∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°，
∴BD=AC=MB=asinθ，CN=DM==asinθ，
∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN
∵∠BPN=90°，∠DPB=∠CNP，∴△BPD∽△PNC，∴=
即=
∴=
整理得，16sin⁴θ-16sin²θ+3=0
解得sin²θ=，sinθ=，
當sinθ=時，CN=asinθ=a＞PN不合理，舍去．
∴sinθ=，
∴MN與β所成角為30°．
故答案為：30°．
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，與二面角有關的立體幾何綜合題，本題難度比較大，處理起來比較麻煩，其中作出輔助線后得到△BPD∽△PNC，進而根據似三角形對應線段成比例，構造關于θ方程，是解答本題的關鍵．