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如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點B的直線與
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點,且

（1）求此橢圓的標準方程;
（2）設P是此橢圓上異于A,B的任意一點, 軸,H為垂足,延長HP到點Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點,為的中點，判定直線與以為直徑的圓O位置關系。

（1）；（2）直線與以為直徑的圓O相切.

解析試題分析：本體主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、點到直線的距離公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先設出頂點和焦點坐標，代入到已知中列出表達式解出和的值，所以得到橢圓的標準方程；第二問，設出兩點坐標，得到，所以可以得到直線的方程，同理得直線的方程，由直線的方程得到點坐標，從而得斜率，利用橢圓方程化簡，從而得到直線的方程，利用圓心到直線的距離與半徑的關系判斷直線與以為直徑的圓的位置關系.
試題解析：（1）可知，，，，
，
,
得
橢圓方程為
（2）設則
由得，
所以直線AQ的方程為，
由得直線的方程為

由，
又因為
所以

所以直線NQ的方程為
化簡整理得到，
所以點O直線NQ的距離=圓O的半徑，
直線與以為直徑的圓O相切.
考點：1.橢圓的標準方程；2.直線的方程；3.點到直線的距離；4.直線與圓的位置關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，為原點.
（1）如圖1，點為橢圓上的一點，是的中點，且，求點到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點，若在橢圓上存在點，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（13分） 已知橢圓C的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點點恰好是拋物線 的焦點。

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點，A,B是橢圓上位于直線ＰＱ兩側的動點，
①若直線ＡＢ的斜率為，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當Ａ、B運動時，滿足＝，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標原點，短軸長為4，且有一個焦點與拋物線的焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知經過定點M（2,0）且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點，試問在x軸上是否另存在一個定點P使得始終平分？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓 的左、右焦點分別是、,是橢圓右準線上的一點，線段的垂直平分線過點.又直線：按向量平移后的直線是，直線：按向量平移后的直線是 (其中)。
（1） 求橢圓的離心率的取值范圍。
（2）當離心率最小且時，求橢圓的方程。
（3）若直線與相交于（2）中所求得的橢圓內的一點，且與這個橢圓交于、兩點，與這個橢圓交于、兩點。求四邊形ABCD面積的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知圓為圓上一動點，點是線段的垂直平分線與直線的交點．

（1）求點的軌跡曲線的方程；
（2）設點是曲線上任意一點，寫出曲線在點處的切線的方程；（不要求證明）
（3）直線過切點與直線垂直，點關于直線的對稱點為，證明：直線恒過一定點，并求定點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線上有一點，到焦點的距離為.
（Ⅰ）求及的值.
（Ⅱ）如圖，設直線與拋物線交于兩點，且,過弦的中點作垂直于軸的直線與拋物線交于點，連接.試判斷的面積是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

矩形的中心在坐標原點，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點，是線段的四等分點,是線段的四等分點.設直線與,與,與的交點依次為.

（1）以為長軸，以為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據條件可判定點都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）.
（3）設線段的（等分點從左向右依次為，線段的等分點從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）

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