Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，（x∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，

AC

AB

=

cosB

cosC

，求A的大小．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，從而求得它的周期．
（II）由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，求得C=

π

3

．在△ABC中，由正弦定理及已知得

sinB

sinC

=

cosB

cosC

，化簡可得sin（B-C）=0，從而B-C=0，從而求得A的值．

解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
則f（x）的最小值是-2，最小正周期是

2π

2

=π．
（II）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，則sin（2C-

π

6

）=1，∵0＜C＜π，∴2C-

π

6

=

π

2

，C=

π

3

．
在△ABC中，由正弦定理及已知得

sinB

sinC

=

cosB

cosC

．
于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0．因為-π＜B-C＜π，從而B-C=0．
∴B=C=

π

3

，
∴以A=

π

3

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦定理、根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．