Question

已知函數(shù)y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）求最大值，及當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；
（2）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程
（3）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和兩角和差的正弦余弦公式即可得出解析式，再利用當(dāng)且僅當(dāng)sin(2x+

π

6

)=1，即2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，函數(shù)y取得最大值

1

2

×1+

5

4

=

7

4

．即可得出；
（2）利用三角函數(shù)的圖象變換法則即可得出．

解答：解：（1）函數(shù)y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1=

1

2

×

1+cos2x

2

+

3

2

×

1

2

×sin2x+1=

1

2

(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+

5

4

=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

．
∴當(dāng)且僅當(dāng)sin(2x+

π

6

)=1，即2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，解得x=kπ+

π

6

(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y取得最大值

1

2

×1+

5

4

=

7

4

．此時(shí)自變量x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）由sin(2x+

π

6

)=±1，得到2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），∴函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
（3）由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)向左平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度得到y=sin(x+

π

6

)；再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變得到y=sin(2x+

π

6

)；
把縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

得到y(tǒng)=

1

2

sin(2x+

π

6

)；再把圖象向上平移

5

4

單位即可得到y(tǒng)=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

5

4

的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式和兩角和差的正弦余弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖象變換等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．