(本小題滿分12分)已知橢圓
:
(
)的離心率為
,過右焦點
且斜率為1的直線交橢圓
于
兩點,
為弦
的中點。
(1)求直線
(
為坐標原點)的斜率
;
(2)設
橢圓
上任意一點
,且
,求
的最大值和最小值.
(1)
, (2)
試題分析:(1)設橢圓的焦距為2
c,因為
,所以有
,故有
。從而橢圓C的方程可化為:
① …………2分
易知右焦點
F的坐標為(
),
據題意有
AB所在的直線方程為:
② …………4分
由①,②有:
③
設
,弦
AB的中點
,由③及韋達定理有:
所以
,即為所求。 …………6分
(2)設
,由1)中各點的坐標有:
,所以
。
又點在橢圓C上,所以有
整理為
。 ④………8分
由③有:
。
⑤
又A﹑B在橢圓上,故有
⑥
將⑤,⑥代入④可得:
。 …………10分
,故有
所以
,
…………12分
點評:圓錐曲線的問題一般來說計算量大,對運算能力要求很高,尋求簡潔、合理的運算途徑很重要,在解答時注意以下的轉化:⑴若直線與圓錐曲線有兩個交點,對待交點坐標是“設而不求”的原則,要注意應用韋達定理處理這類問題 ; ⑵與弦的重點有關問題求解常用方法一韋達定理法 二 點差法;⑶平面向量與解析幾何綜合題,遵循的是平面向量坐標化,應用的是平面向量坐標運算法則還有兩向量平行、垂直來解決問題,這就要求同學們在基本概念、基本方法、基本能力上下功夫.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題共14分)
已知橢圓C:
,左焦點
,且離心率
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線
與橢圓C交于不同的兩點
(
不是左、右頂點),且以
為直徑的圓經過橢圓C的右頂點A. 求證:直線
過定點,并求出定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在坐標原點O,長軸長為2
,離心率e=
,過右焦點F的直線
l交橢圓于P、Q兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形,求滿足該條件的直線
l的方程.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
圓
與雙曲線
的漸近線相切,則
的值是 _______.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知拋物線
的焦點為F,過拋物線在第一象限部分上一點P的切線為
,過P點作平行于
軸的直線
,過焦點F作平行于
的直線交
于M,若
,則點P的坐標為
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知橢圓
,F(xiàn)
1,F(xiàn)
2為其左、右焦點,P為橢圓C上任一點,
的重心為G,內心I,且有
(其中
為實數(shù)),橢圓C的離心率e=( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
過點P(0,-2)的雙曲線C的一個焦點與拋物線
的焦點相同,則雙曲線C的標準方程是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓的中心在原點,焦點在
軸上,長軸長是短軸長的2倍且經過點M(2,1),平行于OM的直線
在
軸上的截距為
,
交橢圓于A、B兩個不同點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)求證直線MA、MB與
軸始終圍成一個等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
我們把離心率為黃金比
的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”.設
為“優(yōu)美橢圓”,F(xiàn)、A分別是左焦點和右頂點,B是短軸的一個端點,則
( )
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