Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（2）求異面直線AE與CD所成的角的余弦值；
（3）求A點到平面PCD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量數(shù)量積為零可知線線垂直，從而面BEA，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PD⊥BE；
（2）先分別求出向量，向量的坐標(biāo)，然后利用空間向量的夾角公式求出兩向量的夾角的余弦值，即為AE與CD所成角的余弦值；
（3）先求出平面PCD的法向量，然后求出DA向量在法向量上的投影的長度即為A點到平面PCD的距離．
解答：解：（1）證明：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）
則
又
所以面BEA，BE?面BEA，
∴PD⊥BE
（2）∵PA⊥面ABCD，PD與底面成30°角，
∴∠PDA=30°
過E作EF⊥AD，垂足為F，則AE=AD•sin30°=1，∠EAF=60°
，
于是
又
則∴AE與CD所成角的余弦值為．
（3）設(shè)平面PCD，則
即（x，y，z）•（-1，1，0）=0∴-x+y=0
令y=1則
A點到平面PCD的距離設(shè)為d，則
即A點到平面PCD的距離為．
點評：本題主要考查了線線的位置關(guān)系、線線所成角以及點到面的距離，同時考查了利用空間向量求解立體幾何問題，考查空間想象能力，運算求解能力，屬于綜合題．