Question

18．對于函數(shù)f（x）=a+$\frac{1}{{3}^{x}+1}（a∈R）$
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在求出a值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性的定義證題步驟：取值、作差、變形定號、下結(jié)論，即可證得；
（Ⅱ）假設(shè)存在a滿足條件，求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義得f（-x）=-f（x），化簡后求值．

解答 解：（1）單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=a+$\frac{1}{{3}^{{x}_{1}}+1}$-（a+$\frac{1}{{3}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{{3}^{{x}_{2}}+1-（{3}^{{x}_{1}}+1）}{{（3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$=$\frac{{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}}{{（3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$，
${3}^{{x}_{1}}-1$∴
∵x₁＜x₂，∴${3}^{{x}_{1}}＜{3}^{{x}_{2}}$，則${3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}＞0$，
又${3}^{{x}_{1}}+1＞0$，${3}^{{x}_{2}}+1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；…6分
（2）假設(shè)存在實數(shù)a滿足條件，
∵函數(shù)f（x）的定義域是R，∴f（-x）=-f（x），
則$a+\frac{1}{{3}^{-x}+1}$=-（$a+\frac{1}{{3}^{x}+1}$），
化簡得2a=-$\frac{1}{{3}^{x}+1}$-$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$=-1，解得a=$-\frac{1}{2}$，
∴存在a=$-\frac{1}{2}$使f（x）是奇函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明及奇偶性的定義，掌握單調(diào)性的定義證題步驟是關(guān)鍵，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．