Question

已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是棱AA'的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對(duì)角線BD'的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；
（Ⅱ）求三棱錐M-OBC的體積；
（Ⅲ）求二面角M-BC'-B'的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接AC，取AC中點(diǎn)K，則K為BD的中點(diǎn)，連接OK因?yàn)镸是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD′的中點(diǎn)，證明MO⊥AA′，MO⊥BD′，證明OM為異面直線AA'和BD'的公垂線．
（Ⅱ）求出點(diǎn)O到平面MA′D′距離h，利用V_M-OBC=V_M-OA′D′=V_O-MA′D′=S_△MA′D′h，求出體積．
（Ⅲ）取′BB′中點(diǎn)N，連接MN，則MN⊥平面BCC′B′，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC′于H，連接MH，
說(shuō)明∠MHN為二面角M-BC′-B′的平面角，在Rt△MNH中，求出tan∠MHN即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：連接AC，取AC中點(diǎn)K，則K為BD的中點(diǎn)，連接OK因?yàn)镸是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD′的中點(diǎn)，所以AM
所以MO…（1分）
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′…（2分）
因?yàn)锳K⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′…（3分）
又因?yàn)镺M是異面直線AA′和BD′都相交
故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線…（4分）
（Ⅱ）易知，S_△OBC=S_△OA′D′，…（10分）
且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′內(nèi)，點(diǎn)O到平面MA′D′距離h=…（11分）
V_M-OBC=V_M-OA′D′=V_O-MA′D′=S_△MA′D′h=…（14分）
（Ⅲ）取′BB′中點(diǎn)N，連接MN，則MN⊥平面BCC′B′，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC′于H，連接MH，則由三垂線定理得BC′⊥MH
從而，∠MHN為二面角M-BC′-B′的平面角…（6分）
MN=1，NH=Bnsin45°=…（7分）
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M-BC′-B′的正切值的大小為2…（9分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．