已知Sn是正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an-
3
4

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;     
(2)若an=2nbn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和;
(3)數(shù)列{kn}滿(mǎn)足kn+1=3kn-1,k1=1,當(dāng)n≥2時(shí)證明:
a1
2k2-2
+
a2
2k3-2
+
a3
2k4-2
+…+
an-1
2kn-2
8
3
分析:(1)再寫(xiě)一式,兩式相減,可得an-an-1=2,從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)確定數(shù)列的通項(xiàng),利用錯(cuò)位相減法,可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和;
(3)先用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n≥3時(shí),3n-1>2n,然后用錯(cuò)位相減法計(jì)算,可得結(jié)論.
解答:(1)解:∵Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an-
3
4
,Sn-1=
1
4
an-12+
1
2
an-1-
3
4

an=Sn-Sn-1=
1
4
(an2-an-12)+
1
2
(an-an-1)

∵正項(xiàng)數(shù)列{an},∴an-an-1=2,
∵S1=
1
4
a
2
1
+
1
2
a1-
3
4

∴a1=3,∴an=2n+1;
(2)解:∵an=2nbn,∴bn=
2n+1
2n

Tn=
3
2
+
5
22
+…+
2n+1
2n

1
2
Tn=
3
22
+
5
23
+…+
2n+1
2n+1

①-②整理可得Tn=5-(2n+5)
1
2n
;
(3)證明:①當(dāng)n=3時(shí),33-1>2•3;
②設(shè)n=k(k≥3)時(shí),3k-1>2k,則n=k+1時(shí),3k=3•3k-1>6k>2(k+1)
∴n=k+1時(shí),結(jié)論成立,
∴3n-1>2n,即
2n-1
3n-1-1
2n
3n-1

所以
a2
2k3-2
+
a3
2k4-2
+…+
an-1
2kn-2
6
32
+
8
33
+…+
2n
3n-1

令Sn′=
6
32
+
8
33
+…+
2n
3n-1
,則
1
3
Sn′=
6
33
+
8
34
+…+
2n
3n

兩式相減可得
2
3
Sn
=
6
32
+
2
33
+…+
2
3n-1
-
2n
3n
=
7
9
-
1
3n-1

Sn′=
7
6
-
1
2•3n-2

6
32
+
8
33
+…+
2n
3n-1
7
6

a1
2k2-2
=
3
2

a1
2k2-2
+
a2
2k3-2
+
a3
2k4-2
+…+
an-1
2kn-2
8
3
得證.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知Sn是正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且an+
1
an
=2Sn
,那么an的通項(xiàng)公式為( 。
A、an=
n
+
n-1
B、an=
n+1
-
n
C、an=
n
-
n-1
D、an=
n+1
+
n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知Sn是正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且
Sn
1
4
與(an+1)2的等比中項(xiàng).
(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=
an
2n
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)若bn
1
4
m2-m-
1
2
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知Sn是正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且an+
1
an
=2Sn
,那么S10等于( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2008-2009學(xué)年福建省泉州市南安一中高二(上)年期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知Sn是正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且與(an+1)2的等比中項(xiàng).
(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
(3)若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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