Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，線段AC₁上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①CE⊥BD；
②三棱錐E-BCF的體積為定值；
③△BEF在底面ABCD內(nèi)的正投影是面積為定值的三角形；
④在平面ABCD內(nèi)存在無數(shù)條與平面DEA₁平行的直線
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：由BD⊥平面ACC₁，知BD⊥CE；
由點(diǎn)C到直線EF的距離是定值，點(diǎn)B到平面CEF的距離也是定值，知三棱錐B-CEF的體積為定值；
線段EF在底面上的正投影是線段GH，故△BEF在底面ABCD內(nèi)的投影是△BGH，由此能導(dǎo)出△BGH的面積是定值；
設(shè)平面ABCD與平面DEA₁的交線為l，則在平面ABCD內(nèi)與直線l平行的直線有無數(shù)條．
解答：解：∵BD⊥平面ACC₁，
∴BD⊥CE，故①正確；
∵點(diǎn)C到直線EF的距離是定值，點(diǎn)B到平面CEF的距離也是定值，
∴三棱錐B-CEF的體積為定值，故②正確；
線段EF在底面上的正投影是線段GH，
∴△BEF在底面ABCD內(nèi)的投影是△BGH，
∵線段EF的長(zhǎng)是定值，
∴線段GH是定值，從而△BGH的面積是定值，故③正確；
設(shè)平面ABCD與平面DEA₁的交線為l，則在平面ABCD內(nèi)與直線l平行的直線有無數(shù)條，故④對(duì)．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，要熟練掌握棱柱的結(jié)構(gòu)特征．