Question

3．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），且在（0，+∞）單調(diào)遞減，如果實數(shù)t滿足$f（lnt）+f（ln\frac{1}{t}）≤2f（1）$，求t的取值范圍$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$．

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)化簡不等式，由偶函數(shù)的單調(diào)性和條件等價轉(zhuǎn)化不等式，由絕對值不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出t的取值范圍．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且$f（ln\frac{1}{t}）=f（-lnt）$，
∴$f（lnt）+f（ln\frac{1}{t}）≤2f（1）$化為：2f（lnt）≤2f（1），
即f（lnt）≤f（1），
∵偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（|lnt|）≤f（1），則|lnt|≥1，
解得$0＜t≤\frac{1}{e}$或t≥e，
∴t的取值范圍是$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$，
故答案為：$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$．

點評 本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．