Question

已知函數(shù)f （x）=x³-3ax+1，a∈R．
（Ⅰ） 求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 求所有的實數(shù)a，使得不等式-1≤f （x）≤1對x∈[0，]恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)函數(shù)解析式，求出導函數(shù)，分a≤0和a＞0兩種情況，分別分析導函數(shù)的符號，進而可得不同情況下f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 根據(jù)（I）中的結(jié)論，分a≤0，0＜a＜3和a≥3三種情況分析不等式-1≤f （x）≤1對x∈[0，]是否恒成立，綜合討論結(jié)果，可得答案．
解答：解：（I）∵f （x）=x³-3ax+1，
∴f′（x）=3x²-3a，
當a≤0時，f′（x）≥0恒成立，f （x）的單調(diào)增區(qū)間為R；
當a＞0時，由f′（x）＞0得x＜或x＞
故f （x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，）和（，+∞），f （x）的單調(diào)減區(qū)間為（，）
（II）當a≤0時，由（I）可知f （x）在[0，]遞增，且f（0）=1，此時無解；
當0＜a＜3時，由（I）可知f （x）在∈[0，）上遞減，在（，]遞增，
∴f （x）在[0，]的最小值為f（）=1-2a
∴，即
解得：a=1
當a≥3時，由（I）可知f （x）在[0，]上遞減，且f（0）=1，
∴
解得：a≤
此時無解
綜上a=1
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，及導數(shù)應用等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力