在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y2=2px(p>0),過定點(diǎn)A(p,0)作直線交該拋物線于M、N兩點(diǎn).
(I)求弦長|MN|的最小值;
(II)是否存在平行于y軸的直線l,使得l被以AM為直徑的圓所截得的弦長為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.
分析:(I)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN:x=my+p,當(dāng)m=0時,|MN|=2
2
p
;當(dāng)m≠0時,聯(lián)立y2=2px與x=my+p,得y2-2mpy-2p2=0?
y1+y2=2mp
y1y2=-2p2
?|MN|=2p
(m2+1)(m2+2)
>2
2
p
.由此能求出弦長|MN|的最小值.
(II)設(shè)存在平行于y軸的直線l,方程為x=t,M(x1,y1),圓心為C(x0,y0),l被圓C截得的弦長為q,則由圓的幾何性質(zhì)可得q=2
(
|MA|
2
)
2
-(x0-t)2
=2
(x1-p)2+
y
2
1
4
-(
x1+p
2
-t)
2
=2
(t-
p
2
)x1+pt-t2
.由此能求出存在直線l,其方程為x=
p
2
解答:解:(I)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2
直線MN:x=my+p
①當(dāng)m=0時,|MN|=2
2
p

②當(dāng)m≠0時,聯(lián)立y2=2px與x=my+p
得y2-2mpy-2p2=0?
y1+y2=2mp
y1y2=-2p2
?|MN|=2p
(m2+1)(m2+2)
>2
2
p

比較①②知|MN|min=2
2
p
(6分)
(II)設(shè)存在平行于y軸的直線l,方程為x=t,M(x1,y1),圓心為C(x0,y0
l被圓C截得的弦長為q,則由圓的幾何性質(zhì)可得:
q=2
(
|MA|
2
)
2
-(x0-t)2
=2
(x1-p)2+
y
2
1
4
-(
x1+p
2
-t)
2
=2
(t-
p
2
)x1+pt-t2

當(dāng)t=
p
2
時,q=p為定值
故存在這樣的直線l,其方程為x=
p
2
(12分)
點(diǎn)評:本題考查弦長的計(jì)算和直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,解題時要注意分類討論思想和弦長公式的合理運(yùn)用,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn),則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

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在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
,
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn),下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無窮多個整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點(diǎn)的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點(diǎn)的直線.

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在平面直角坐標(biāo)系中,下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的是( 。

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