在棱長為1的正方體內(nèi)，有兩球相外切，并且又分別與正方體內(nèi)切．
（1）以正方體每個面的中心為頂點構成一個八面體，求該八面體的體積．
（2）求兩球半徑之和．
（3）球的半徑是多少時，兩球體積之和最��？
考點：球內(nèi)接多面體,球的體積和表面積
專題：綜合題,空間位置關系與距離
分析：（1）八面體分成兩個正四棱錐，求出底面面積，然后求出體積即可．
（2）利用ABCD為過球心的對角面，即可求兩球半徑之和．
（3）表示出兩球的體積之和，利用配方法，求兩球體積之和最�。�
解答： 解：（1）將正方體的六個面的中心連接起來，構成一個八面體，分成兩個正四棱錐，底面面積為：
1
2
，高為
1
2
，一個正四棱錐的體積為：
1
3
×
1
2
×
1
2
=
1
12
，
所以這個八面體的體積是V=
1
6
；
（2）如圖，ABCD為過球心的對角面，AC=
3
，

設兩球半徑為R、r，則有R+r+
3
（R+r）=
3
，
所以R+r=
3-
3
2
；
（2）設兩球的體積之和為V，
則V=
4
3
π（R3+r3）=
4
3
π•
3-
3
2
[3R2-
3(3-
3
)
2
R+（
3-
3
2
）2]，
所以當R=
3-
3
4
時，V有最小值．
點評：本題是基礎題，考查棱錐的體積的求法，正方體的內(nèi)接體的知識，解題關鍵在八面體轉化為兩個正四棱錐，是常考題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

“a=1”是“復數(shù)a2-1+（a+1）i（a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)”的（　�。�
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

sin（-660°）=（　�。�
A、
1
2
B、-
1
2
C、
3
2
D、-
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中，坐標原點為O，點A，B在x軸上，OA=1，OB=5，點C在y軸上，OC=2.5，第一象限有一點D的坐標為（3，4），連接AD，BD，點E是線段AB上一動點（不與點A重合），過E作EF⊥AB交射線AD于點F，以EF為一邊在EF的右側作正方形EFGH，設E點的坐標為（t，0）
（1）求射線AD的解析式；
（2）在線段AB上是否存在點E，使△OCG為等腰三角形？若存在，求正方形EFGH的邊長；若不存在，請說明理由；
（3）設正方形EFGH與△ABD重疊部分面積為S，求S與t的函數(shù)關系式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若一個三位數(shù)的百位，十位和個位上的數(shù)依次成等差數(shù)列，則稱這樣的數(shù)為三位等差數(shù)，按照上述定義，三位等差數(shù)共有
 
個．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx-x2．
（1）當a=2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值；
（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x）在（0，3）不單調(diào)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2-4x+10
-
x2-2x+3
，求f（x）的最大值及相應的x值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對的邊為a、b、c，cosA=
2
5
5
，且△ABC的面積為
5
，求△ABC周長的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為2cm，那么該棱柱的表面積為（　�。�
A、（2+4
2
）cm2
B、（4+8
2
）cm2
C、（8+16
2
）cm2
D、（16+32
2
）cm2

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