Question

已知函數(shù)f(x)=log2(x2+1)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）通過f（x）解析式知，對任意x∈R，x²+1≥1＞0，所以便得到f（x）的定義域為R，并且f（x）≥0，值域也就求出來了；
（2）求f′（x），判斷f′（x）＞0即可證得f（x）在（0，+∞）上遞增．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R；
∵x²+1≥1；
∴log2(x2+1)≥0；
∴函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；
（2）證明：x＞0時，f′（x）=

2x

(x2+1)ln2

＞0；
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增．

點評：考查對數(shù)的真數(shù)大于0，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號證明函數(shù)單調(diào)性的方法．