Question

已知f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7（n∈N^*），
（1）設f（x）的圖象的頂點的縱坐標構成數(shù)列{a_n}，求證：{a_n}為等差數(shù)列．
（2）設f（x）的圖象的頂點到x軸的距離構成{b_n}，求{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）要證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．我們可以根據(jù)二次函數(shù)頂點的坐標公式，求出其頂點縱坐標的表達式，再根據(jù)判斷等差數(shù)列的方法進行判斷；
（2）由于f（x）的圖象的頂點到x軸的距離等于頂點縱坐標的絕對值，結合（1）的結論，我們易得{b_n}從第二項開始是一個等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，易得結論．

解答：（1）證明：∵f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7（n∈N^*），
f（x）的圖象的頂點的縱坐標為

4ac-b2

4a

=3n-8
即a_n=3n-8（n∈N^*），
故{a_n}為一個以-5為首項，以3為公差的等差數(shù)列
（2）解：由（1）及f（x）的圖象的頂點到x軸的距離構成{b_n}，
則b_n=|a_n|=|3n-8|
當n=1或n=2時3n-8＜0，b_n=|3n-8|=8-3n b₁=5 b₂=2
n≥3時3n-8＞0 b_n=|3n-8|=3n-8
Sn=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=5+2+（3×3-8）+（3×4-8）…+（3n-8）
=7+3×（3+4+5+…+n）-8（n-2）
=7+

3(n+3)(n-2)

2

-8（n-2）
=7+

(n-2)(3n+9-16)

2

=7+

(n-2)(3n-7)

2

．
∴S_n=7+

(n-2)(3n-7)

2

．

點評：要判斷一個數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數(shù)列連續(xù)兩項之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項法，判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差（比）中項；③通項公式法，判斷其通項公式是否為一次（指數(shù)）型函數(shù)；④前n項和公式法．