Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC中點．
（1）求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值；
（2）在BC₁上是否存在一點E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置．

Answer 1

分析：（1）由已知中AA₁=A₁C，O為AC中點，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得A₁O⊥AC，又由已知中側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，故A₁O⊥平面ABC，以O(shè)為原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線A₁C的方向向量與平面A₁AB的法向量，代入空間向量夾角公式，即可得到直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值；
（2）設(shè)出E點的坐標(biāo)，根據(jù)OE∥平面A₁AB，則OE的方向向量與平面A₁AB的法向量垂直，數(shù)量積為零，我們可以求出E點坐標(biāo)，進而確定E點的位置．

解答：證明：（1）因為A₁A=A₁C，且O為AC的中點，所以A₁O⊥AC．又由題意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交線為AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC．…（3分）
如圖，以O(shè)為原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由題意可知A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，

3

)，C(0，1，0)，C1(0，2，

3

)，B(1，0，0)
則有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=（1，1，0）．
設(shè)平面AA₁B的一個法向量為n=（x，y，z），則有 

n• AA1 =0 n• AB =0

?

y+ 3 z=0 x+y=0

，令y=1，得x=-1，z=-

3

3

所以n=(-1，1，-

3

3

)．                                          
 cos＜n，

A1C

＞=

n• A1C

|n|| A1C |

=

21

7

．
∴直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值為

21

7

…（8分）
（2）設(shè)E=（x₀，y₀，z₀），

BE

=λ

BC1

，即(x0-1，y0，z0)=λ(-1，2，

3

)，得

x0=1-λ y0=2λ z0= 3 λ

      
所以E=(1-λ，2λ，

3

λ)，得

OE

=(1-λ，2λ，

3

λ)，
令OE∥平面A₁AB，得

OE

•n=0，
即-1+λ+2λ-λ=0，得λ=

1

2

，
∴存在這樣的點E，且E為BC₁的中點．…（12分）

點評：本題考查的知識點是向量語言表述面面垂直、平行關(guān)系，用空間向量求直線與平面的夾角，其中建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間直線與平面的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．