Question

如圖，△ABC中，AC=BC=

2

2

AB，四邊形ABED是矩形，AB=2，平面ABED⊥平面ABC，G、F分別是EC、BD的中點，EC與平面ABC所成角的正弦值為

6

3

．
（Ⅰ）求證：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求BD與面EBC的所成角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AE，證明GF∥AC，利用直線與平面平行的判定定理證明GF∥底面ABC．
（Ⅱ）說明∠ECB就是EC與平面ABC所成角．然后連結GB，推出BG是斜線BF在平面EBC內(nèi)的射影，說明∠FBG就是BD與平面EBC所成角．通過在Rt△FBG中，求解BD與面EBC的所成角．

解答： 解：（Ⅰ）連接AE，∵四邊形ABED是矩形，∴對角線AE與BD互相平分，
又F為BD的中點，∴F為EA的中點，又G為EC的中點，
∴GF∥AC，GF?底面ABC，AC?底面ABC，
∴GF∥底面ABC．                                （5分）

（Ⅱ）∵平面ABED⊥平面ABC，
平面ABED⊥平面ABC=AB，EB⊥AB，EB?平面ABED，∴EB⊥平面ABC，
∴CB是斜線CE在平面ABC內(nèi)的射影，
∴∠ECB就是EC與平面ABC所成角．∴sin∠ECB=

6

3

，cos∠ECB=

3

3

∵BC=

2

，∴EC=

6

．         （8分）
∵EB⊥平面ABC，∴EB⊥AC，又∵AC=BC=

2

2

AB，AB=2，
∴AC²+BC²=AB²，∴CB⊥AC．EB∩CB=C，∴AC⊥平面EBC．
∵GF∥AC，∴GF⊥平面EBC，連結GB，則BG是斜線BF在平面EBC內(nèi)的射影，
∴∠FBG就是BD與平面EBC所成角．                             （11分）
在Rt△FBG中，BG=

6

2

，BF=

2

，cos∠FBG=

BG

BF

=

3

2

，
∴∠FBG=

π

6

．
∴BD與面EBC的所成角為30°．                                 （14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角以及直線與平面所成角的應用，考查空間想象能力以及計算能力．