Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-a-x

ax+a-x

（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）判斷奇偶性并證明之；
（3）判斷單調(diào)性并證明之．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先對函數(shù)關(guān)系是進(jìn)行恒等變換轉(zhuǎn)換成f（x）=1-

2

a2x+1

，進(jìn)一步利用指數(shù)函數(shù)的值域確定該函數(shù)的值域．
（2）利用定義判斷函數(shù)的奇偶性①定義域的對稱問題②f（-x）與f（x）的關(guān)系．
（3）采用分類討論思想①0＜a＜1①0＜a＜1進(jìn)一步利用單調(diào)性進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）已知函數(shù)f（x）=

ax-a-x

ax+a-x

（a＞0且a≠1）
則：f（x）=

ax- 1 ax

ax+ 1 ax

=

a2x-1

a2x+1

=1-

2

a2x+1

由于a＞0且a≠1
則：a^2x＞0
進(jìn)一步求得：0＜

2

a2x+1

＜2
所以：1＞f（x）＞-1
即：函數(shù)f（x）的值域：（-1，1）
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
證明：①x∈R
②f（-x）=

a-x-ax

ax+a-x

=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）①0＜a＜1為減函數(shù)②a＞1為增函數(shù)．
證明：由（1）得f（x）=1-

2

a2x+1

（a＞0且a≠1），
①0＜a＜1，
a^2x在定義域x∈R內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，
則：

2

a2x+1

為單調(diào)遞增函數(shù)，
進(jìn)一步求得f（x）=1-

2

a2x+1

在定義域x∈R內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)；
②a＞1，
a^2x在定義域x∈R內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)
則：

2

a2x+1

為單調(diào)遞減函數(shù)
進(jìn)一步求得f（x）=1-

2

a2x+1

在定義域x∈R內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)
故答案為：（1）函數(shù)f（x）的值域：（-1，1）
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（3）函數(shù)f（x）①0＜a＜1為減函數(shù)②a＞1為增函數(shù)

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的恒等變換．求函數(shù)的值域，判斷函數(shù)的奇偶性的兩個(gè)條件，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性分類討論思想在題中的應(yīng)用．