Question

已知曲線E上任意一點P到兩個定點F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)的距離之和為4，
（1）求曲線E的方程；
（2）設過（0，-2）的直線l與曲線E交于C、D兩點，且

OC

•

OD

=0（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據題中條件：“距離之和為4”結合橢圓的定義，可知動點M的軌跡為橢圓，從而即可寫出動點M的軌跡方程；
（2）先考慮當直線l的斜率不存在時，不滿足題意，再考慮當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx-2，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由向量和數量積可得：x₁x₂+y₁y₂=0，由方程組

x2 4 +y2=1 y=kx-2.

，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（1）根據橢圓的定義，可知動點M的軌跡為橢圓
其中a=2，c=

3

，則b=

a2-c2

=1，
所以動點M的軌跡方程為

x2

4

+y2=1；
（2）當直線l的斜率不存在時，不滿足題意，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx-2，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵

OC

•

OD

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0①
由方程組

x2 4 +y2=1 y=kx-2.

得（1+4k²）x²-16kx+12=0，
則x1+x2=

16k

1+4k2

，x1•x2=

12

1+4k2

，
代入①，得(1+k2)•

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，
即k²=4，解得，k=2或k=-2，
所以，直線l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的定義、向量的運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．