Question

已知F₁,F₂分別是橢圓E:+y²=1的左、右焦點(diǎn),F₁,F₂關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個端點(diǎn).
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)F₂的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當(dāng)ab最大時,求直線l的方程.

Answer 1

（1）(x-2)²+(y-2)²=4  （2）x-y-2=0或x+y-2=0

解:(1)由題設(shè)知,F₁,F₂的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),圓C的半徑為2,圓心為原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點(diǎn).
設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x₀,y₀),
由解得
所以圓C的方程為(x-2)²+(y-2)²=4.
(2)由題意,可設(shè)直線l的方程為x=my+2,
則圓心到直線l的距離d=.
所以b=2=.
由得(m²+5)y²+4my-1=0.
設(shè)l與E的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),
則y₁+y₂=-,y₁y₂=-.
于是a==
=
==.
從而ab==
=≤ 
=2.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即m=±時等號成立.
故當(dāng)m=±時,ab最大,此時,直線l的方程為x=y+2或x=-y+2,
即x-y-2=0或x+y-2=0.