Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（I）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（II）若函數(shù)f(x)在(0，

1

2

)上無零點，求a的最小值；
（III）若0＜n＜m，求證：

m-n

lnm-lnn

＜2m．

Answer 1

分析：（I）代入a的值，寫出函數(shù)的解析式，對函數(shù)求導，使得導函數(shù)大于0，求出自變量的值，寫出單調區(qū)間．
（II）根據(jù)函數(shù)無零點，得到函數(shù)的導函數(shù)小于0在一個區(qū)間上不恒成立，得到函數(shù)在這個區(qū)間上沒有零點，構造新函數(shù)，對函數(shù)求導，利用求最值得方法求出函數(shù)的最小值．
（III）要證明不等式成立，由第（I）問可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調遞減，得到兩個自變量的函數(shù)值之間的關系，整理出結果．

解答：解：（I）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，則f′(x)=1-

2

x

，（1分）
由f'（x）＞0，得x＞2；
由f'（x）＜0，得0＜x＜2．（3分）
故f（x）的單調減區(qū)間為（0，2]，單調增區(qū)間為[2，+∞）（4分）
（II）因為f(x)＜0在區(qū)間(0，

1

2

)上恒成立不可能，
故要使函數(shù)f(x)在(0，

1

2

)上無零點，
只要對任意的x∈(0，

1

2

)，f(x)＞0恒成立，
即對x∈(0，

1

2

)，a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．（6分）
令l(x)=2-

2lnx

x-1

，x∈(0，

1

2

)，
則l(x)=-

2 x (x-1)-2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，（7分）

再令m(x)=2lnx+ 2 x -2，x∈(0， 1 2 )， 則m′(x)=- 2 x2 + 2 x = -2(1-x) x2 ＜0，

故m(x)在(0，

1

2

)上為減函數(shù)，

于是m(x)＞m( 1 2 )=2-2ln2＞0， 從而，l(x)＞0，于是l(x)在(0， 1 2 )上為增函數(shù)，

所以l(x)＜l( 1 2 )=2-4ln2， 故要使a＞2- 2lnx x-1 恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞)，

綜上，若函數(shù)f(x)在(0，

1

2

)上無零點，則a的最小值為2-4ln2．（9分）
（III）證明：由第（I）問可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調遞減．
∵0＜

n

m

＜1，∴f(

n

m

)＞f(1)（12分）
∴(

n

m

-1)-2ln

n

m

＞0?

n-m

m

＞2(lnn-lnm)∴

m-n

m

＜2(lnm-lnn)，
即

m-n

lnm-lnn

＜2m（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)等知識，考查恒成立問題，化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力，本題解題的關鍵是最后一問，利用函數(shù)的單調性證明不等式．