Question

如圖，單位正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列說法錯誤的是（ ）

A.BD1⊥B1C

B.若，則PE∥A1B

C.若點B1、A、D、C在球心為O的球面上，則點A、C在該球面上的球面距離為

D.若，則A1P、BE、AD三線共點

Answer 1

C

【解析】

試題分析：以D點為坐標原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用直線所在向量的數(shù)量積判定兩直線是否垂直，是否平行，利用余弦定理求圓心角，以及利用兩平面的公共點肯定在交線上進行判定即可．

【解析】
以D點為坐標原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系

則A1（1，0，1），D1（0，0，1），B（1，1，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），

選項A：=（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，﹣1），則•=0∴BD1⊥B1C

選項B：若，則P（0，0，），E（0，，0）

∴=（0，，﹣），=（0，1，﹣1）則=﹣∴PE∥A1B

選項C：若點B1、A、D、C在球心為O的球面上，則該球為正方體的外接球，OA=OC=，AC=；

則AC所對的圓心角為π﹣arccos，∴點A、C在該球面上的球面距離為，則選項C不正確；

選項D：由選項B可知PE∥A1B，且PE=A1B，∴A1P、BE共面且相交，假設(shè)交點為Q，Q∈A1P，A1P?面A1PD，Q∈BE，BE?面BED

∴Q∈面A1PD，Q∈?面BED，而面A1PD∩面BED=AD∴Q∈AD即A1P、BE、AD三線共點于Q．

故選C．