Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求證：BC₁⊥平面CDB₁；
（Ⅱ）求二面角B-B₁D-C的大小；
（Ⅲ）求三棱錐D₁-CDB₁的體積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正方體的幾何特征可得CD⊥面BCC₁B₁，進而CD⊥BC₁，B₁C⊥BC₁，結(jié)合線面垂直的判定定理得到BC₁⊥平面CDB₁；
（Ⅱ）設(shè)B₁C∩BC₁=O，過點O作OE⊥B₁D，垂足為點E，連結(jié)BE，可知∠BEO為二面角B-DB₁-C的平面角，解三角形可得二面角B-B₁D-C的大�。�
（Ⅲ）B₁C₁⊥面ACC₁A₁
可知B₁C₁為三棱錐D₁-CDB₁的面D₁CD上的高，代入棱錐體積公式可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中有CD⊥面BCC₁B₁，
且四邊形BCB₁C₁為矩形．
∴CD⊥BC₁，B₁C⊥BC₁
∴BC₁⊥平面CDB₁---------------------------------（4分）
解：（Ⅱ）設(shè)B₁C∩BC₁=O，過點O作OE⊥B₁D，垂足為點E，連結(jié)BE
由BC₁⊥平面CDB₁知：BE⊥B₁D
∴∠BEO為二面角B-DB₁-C的平面角-------（6分）
在正方形BC C₁B₁中，BC=CD=1，
∴B₁O=BO=OC=

2

2

，
∵Rt△DCB₁∽Rt△OCB₁
∴OE=

6

6

------------（8分）
∴tan∠BEO=

3

即∠BED=60°
∴二面角B-AB₁-C為60°--------------------------（10分）
解：（Ⅲ）∵B₁C₁⊥面ACC₁A₁
∴VD1-CDB1=VB1-CDD1=

1

3

S△CDD1•B1C1=

1

3

•

1

2

•1=

1

6

-------（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判斷，棱錐的體積，是空間幾何知識的綜合應用，難度中檔．