Question

已知函數(shù)f（x）=a²x+cosx，a∈R．
（1）當(dāng)a²=2時，求y=f（x）在x=

π

2

處的切線方程；
（2）若f（x）在[0，π]內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）f'（x）=2-sinx，得f′(

π

2

)=2-sin

π

2

=1=k，f(

π

2

)=2×

π

2

+cos

π

2

=π，從而所求切線方程為：y-π=x-

π

2

，
（2）f'（x）=a²-sinx≥0在x∈[0，π]內(nèi)恒成立，只需a²≥（sinx）_max當(dāng)x∈[0，π]時，sinx≤sin

π

2

=1，故有a²≥1，從而a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．

解答： 解：（1）a²=2時，f（x）=2x+cosx，
∴f'（x）=2-sinx，
∴f′(

π

2

)=2-sin

π

2

=1=k，
f(

π

2

)=2×

π

2

+cos

π

2

=π 
所求切線方程為：y-π=x-

π

2

，
即：2x-2y+π=0．
（2）f'（x）=a²-sinx≥0在x∈[0，π]內(nèi)恒成立，
只需a²≥（sinx）_max
當(dāng)x∈[0，π]時，sinx≤sin

π

2

=1，故有a²≥1，
∴a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道基礎(chǔ)題．