Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2．
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在[2，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，求f（-x），使f（-x）=-f（x）即可；
（2）根據(jù)f（1）=2求出a，從而求出f（x），求f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)f′（x）的符號證明f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)f（x）在[2，5]上的單調(diào)性求f（x）在[2，5]上的最值即可．

解答： 解：（1）證明：f（-x）=

x2+a

-x

=-f(x)，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：∵f（1）=2，∴

1+a

1

=2，∴a=1，f（x）=

x2+1

x

，f′（x）=

x2-1

x2

；
∵x＞1，∴x²＞1，∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由（2）知，f（x）在[2，5]上是增函數(shù)，所以f（x）的最大值為f（5）=

26

5

，最小值為f（2）=

5

2

．

點(diǎn)評：考查奇函數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號證明函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法．