Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是CC₁、AA₁的中點(diǎn)．AA₁=2．
（1）求異面直線AE與BF所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)F到平面ABC₁D₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸的正方向建立空間坐標(biāo)系，結(jié)合AA₁=2我們易求出異面直線AE與BF的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到異面直線AE與BF所成角的余弦值；
（2）結(jié)合正方體的幾何特征，我們求出平面ABC₁D₁的法向量為，代入點(diǎn)到平面距離公式，即可得到點(diǎn)F到平面ABC₁D₁的距離．
解答：解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸的正方向建立空間坐標(biāo)系
∵AA₁=2，E、F分別是CC₁、AA₁的中點(diǎn)．
∴A（0，0，0），B（2，0，0），E（2，2，1），F(xiàn)（0，0，1）
∴=（2，2，1），=（-2，0，1）
∴異面直線AE與BF所成角θ有
cosθ==
即異面直線AE與BF所成角的余弦值為
（2）由正方體的幾何特征易得=（0，-1，1）是平面ABC₁D₁的法向量
則=，
即點(diǎn)F到平面ABC₁D₁的距離為
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是點(diǎn)到平面的距離，異面直線及其所成的角，其中（1）的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，將異面直線夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)到平面之間的距離公式．