Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．今年暑假我校學(xué)生公寓建造了可使用15年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為4萬元．學(xué)生公寓每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=

k

2x+3

(0≤x≤10，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為10萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與15年的能源消耗費(fèi)用之和．
（1）求k的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）我校做到了使總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，請你計算學(xué)生公寓隔熱層修建的厚度和總費(fèi)用的最小值．

Answer 1

（1）由題意，當(dāng)x=0，C（x）=10，代入C（x）=

k

2x+3

，得k=30．…（3分）
所以f（x）=4x+15C（x）=4x+

450

2x+3

（0≤x≤10）…（6分）
（2）f（x）=4x+

450

2x+3

=4x+6+

450

2x+3

-6
=2（2x+3）+

450

2x+3

-6≥2

2(2x+3)• 450 2x+3

-6=54…（10分）
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)2（2x+3）=

450

2x+3

即x=6．…（12分）
因此隔熱層修建6 cm時，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，最小值為54元．…（13分）
f′（x）=4-

900

(2x+3)2

=

16(x+9)(x-6)

(2x+3)2

，當(dāng)x=6時f′（x）=0…（14分）