Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，當x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，a_k=f（x）_minx∈[2k，2k+2]（k∈N），則=（ ）
A．1
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知函數(shù)關(guān)系可得，f（x+2）=4f（x），結(jié)合x∈[0，1]時，f（x）的值域可求x∈[-1，0]，進而可求x∈[1，2]的值域，利用此規(guī)律可求{a_n}是以1為首項，以4為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的求和公式可求和，進而可求極限
解答：解：∵f（1+x）•f（1-x）=4，
∴f（1+x）=
令1-x=t可得f（t）=①
∵f（x）f（-x）=1
∴f（x）=即f（t）=②
①②可得f（t+2）=4f（t）
∴f（x+2）=4f（x）
x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，
設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，則f（x）=
所以，x+2∈[1，2]，f（x+2）=4f（x）∈[2，4]，以此類推可得，區(qū)間每增加2個長度，值域變?yōu)樯弦粎^(qū)間的4倍
∵a_k=f（x）_min，x∈[2k，2k+2]
∴a₁=f（x）_min，x∈[0，2]
即a₁=1
∴{a_n}是以1為首項，以4為公比的等比數(shù)列
∴
∴=
===
故答案為：
點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，等比數(shù)列的求和公式及數(shù)列極限的求解，試題具有一定的綜合性