Question

已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，則AB與平面ADC所成角的正弦值為

7

7

．

Answer 1

分析：作AO⊥BC于點(diǎn)O，連DO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，確定

AB

的坐標(biāo)，求得平面ADC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)AB=1，作AO⊥BC于點(diǎn)O，連DO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，
得下列坐標(biāo)：
O（0，0，0），D（

3

2

，0，0），B（0，

1

2

，0），C（0，

3

2

，0），
A（0，0，

3

2

）
∴

AB

=（0，

1

2

，-

3

2

），

AD

=(

3

2

，0，-

3

2

)，

AC

=(0，

3

2

，-

3

2

)
設(shè)平面ADC的法向量為

n

=(x，y，z)，則

3 x 2 - 3 2 z=0 3 2 y- 3 2 z=0

∴可取

n

=(

3

，1，

3

)
∴AB與平面ADC所成角的正弦值為|cos＜

n

，

AB

＞|=|

n • AB

| n || AB |

|=|

1 2 - 3 2

1× 7

|=

7

7

故答案為：

7

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角的計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，考查利用向量知識(shí)解決空間角問題，確定向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵．