Question

如圖，在海岸線l一側(cè)C處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在l上設(shè)立了A、B兩個報名點，滿足A、B、C中任意兩點間的距離為10千米．公司擬按以下思路運作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點D處（點D異于A、B兩點），然后乘同一艘游輪前往C島．據(jù)統(tǒng)計，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費2元，游輪每千米耗費12元．設(shè)∠CDA=α，每批游客從各自報名點到C島所需運輸成本為S元．
（1）寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達式，并指出α的取值范圍；
（2）問中轉(zhuǎn)點D距離A處多遠時，S最小？

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型,正弦定理的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）在△ACD中，求出相關(guān)的角．利用正弦定理，求出CD=

5 3

sinα

，AD=

10sin( 2π 3 -α)

sinα

，表示出所需運輸成本為S元關(guān)于α的函數(shù)表達式．
（2）利用函數(shù)表達式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的符號，求解函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）由題在△ACD中，∠CAD=

π

3

，∠CDA=α，AC=10，∠ACD=

2π

3

-α．
由正弦定理知

CD

sin π 3

=

AD

sin( 2π 3 -α)

=

10

sinα

，得CD=

5 3

sinα

，AD=

10sin( 2π 3 -α)

sinα

…（3分）
∴S=4AD+8BD+12CD=12CD-4AD+80=

60 3 -40sin( 2π 3 -α)

sinα

+80=20

3

3-cosα

sinα

+60(

π

3

＜x＜

2π

3

)…（7分）
（2）S′=20

3

1-3cosα

sin2α

，令S′=0，得cosα=

1

3

…（10分）
當(dāng)cosα＞

1

3

時，S′＜0；當(dāng)cosα＜

1

3

時，S′＞0，∴當(dāng)cosα=

1

3

時S取得最小值…（12分）
此時sinα=

2 2

3

，AD=

5 3 cosα+5sinα

sinα

=5+

5 6

4

，
∴中轉(zhuǎn)點C距A處

20+5 6

4

千米時，運輸成本S最小…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．