Question

如圖△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．
（1）求點A到平面MBC的距離；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取CD的中點，連接OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD，故MO∥AB，A，B，O，M共面，延長AM，BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角，由此能求出點A到平面MBC的距離．
（2）CE是平面ACM與平面BCD的交線，由（1）知，O是BE的中點，則BCED是菱形，作BF⊥EC于F，連接AF，∠AFB是二面角A-EC-B的平面角，由此能求出平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．
解答：解：（1）取CD的中點，連接OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，
則MO⊥平面BCD，
∴MO∥AB，A，B，O，M共面，
延長AM，BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角，
OB=MO=，
MO∥AB，MO∥面ABC，
M，O到平面 ABC的距離相等，作OH⊥BC于H，
連接MH，則MH⊥BC，
∴OH=OC•sin60°=，MH=，
∵V_A-MBC=V_M-ABC，
∴d=．
（2）CE是平面ACM與平面BCD的交線，
由（1）知，O是BE的中點，則BCED是菱形，
作BF⊥EC于F，連接AF，∠AFB是二面角A-EC-B的平面角，設為θ，
∵∠BCE=120°，∴∠BCF=60°，
BF=BC•sin60°=，
tanθ=，sinθ=，
所以平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值為．
點評：本題考查點到平面的距離的求法，考查二面角的正弦值的求法．解題時要認真審題，注意合理地化空間問題為平面問題．